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【絶対値②】

今回は、絶対値の計算について解説していきたいと思います。

絶対値の基礎的な説明に関しては、【絶対値①】の記事を見てみてください。

 

【絶対値①】でも書いた内容になりますが、

絶対値は、原点Oからの距離を表していて、

中身の値がプラスかマイナスかを確認する必要がありましたね。

 

では、そのことを頭の片隅において、次の問題を解いてみましょう。

 

問.  3|x-2| ­= x を解け。

 

まずは、絶対値の中身がプラスのとき、マイナスの時で場合分けをしましょう。

 

(ⅰ) x-2 ≧ 0 つまり、 x ≧ 2 のとき

 

|x-2| = x-2 と、絶対値記号をそのまま外せるので、

 

3|x-2| = x は、3(x-2) = x となり、3x-6 = x ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3

 

いま、計算結果が出ましたが、これをそのまま答えにしてはいけません。

 

自分が設定した条件と、出た答えがあっているかを判断しなければなりません。

 

今回、x = 3 は x ≧ 2 の範囲に含まれるので、解として成立します。

 

（ⅱ）x-2 ＜ 0 つまり、 x ＜ 2 のとき

 

|x-2| = -(x-2) と、絶対値記号を外す際に、前にマイナスが付きます。

 

3|x-2| = x は、 　となり、-3x+6 = x ⇔ 6=4x ⇔

 

これは、ｘ ＜ 2 を満たすので、解として成立します。

 

いま、全ての実数の範囲のｘで考えるので、

（ⅰ）（ⅱ）より、

求める解は、  , ｘ＝6

 

 

次に、問. 3|x-2| ≤ x を解いてみましょう。

 

先ほどの方程式が、不等式になりました。

不等式でも解き方は変わらないです。場合分けをして考えていきましょう。

 

（ⅰ）x-2 ≧ 0 つまり、 x ≧ 2 のとき

 

|x-2| = x-2 と、絶対値記号をそのまま外せるので、

 

3|x-2| ≤ x は、3(x-2) ≤ x となり、3x-6 ≤ x ⇔ 2x ≤ 6 ⇔ x ≤ 3

 

場合分けで考えた範囲と解の範囲の共通部分が答えになるので、

 

2 ≤ x ≤ 3 が求める解になります。

 

（ⅱ）x-2 ＜ 0 つまり、 x ＜ 2 のとき

 

|x-2| = -(x-2) と、絶対値記号を外す際に、前にマイナスが付きます。

 

3|x-2| =≤ x は、 　となり、-3x+6 ≤ x ⇔ 6 ≤ 4x ⇔

ｘ ＜ 2 との共通範囲は、  となる。

 

いま、全ての実数の範囲のｘで考えるので、

（ⅰ）（ⅱ）より、

求める解は、

 

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